在如图坐标平面$x-o-y$内，原点$O$处有一质点1，$x$轴上坐标为$(d,0)$的$A$处有另一质点2。现在2沿如图夹角为$\alpha$的直线做匀速直线运动，速度为$b$，同时1以速度$a(a>b)$始终向着2运动。求：1与2相遇点$P$的坐标。
在宇宙中遥远的某处有一星体$O$，上面有一种生物，它们具有和人类相似的智慧，科技也比较发达。它们在某个时期决定发射它们的第一颗卫星。经观测发现，在$O$为球心的半径很大的球内均无其他星体及物质，固它们认为星体$O$是一个孤立的。经测量得，星体$O$的质量为$M$。它们设计的卫星的轨道为椭圆，近点$A$到$O$的距离为$d$，离心率$e=\frac{1}{2}$。有了计划后，它们便马上开始落实。在将卫星送到近点A时，点火使其速度恰好满足上述轨道的偏移。经跟踪发现，卫星并不是做一个椭圆运动，其轨道发生着变化。后经它们研究发现，其实$O$不是孤立的，在空间中分布着暗物质，分布为：在以$O$为球心半径为$R=2d$的区域内不存在，在此球外均匀分布着密度为$\rho$的暗物质，$\rho$满足$\frac{4}{3}\pi R^3\rho=M$。求
- 卫星实际的运动，画出草图。
- 是否为周期运动？若是，求出周期$T$。
- 是否存在这样一个轨道，轨道为闭合的周期性的，一个周期内卫星与$O$连线转过$ 2\pi$，且在$R$内外都有轨道的一段。若存在，给出轨道及周期$T^\prime$。（暗物质分布不会变化）
- 在直角坐标系中，平面$x-o-y$与水平面平行。在原点$O$处有一质点，此时速度$\vec{v_0}=v_0\left(\sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta}\vec{i}+\cos\alpha\vec{j}+\cos\beta\vec{k}\right)$。其所受外力为：重力$\vec{G}=-mg\vec{k}$，阻力$\vec{f}=-f\frac{\vec{v}}{v}, f=mg$，求质点最终的速度。
有一个横截面为正方形的柱体，正方形边长为$ 2a$，请设计一个轨道，如下图，使柱体在上面滚动时，中心$A$的高度不变，求出轨道方程。（只需要写最小重复单元的方程）。对于截面是边长为$ 2a$的正$n$边形，情况又如何？（运动过程中不会发生碰撞）
一陀螺由半径为$ 2a$的薄圆盘及一垂直通过盘中心$C$长为$a$的杆轴所组成，杆轴的质量可忽略不计。将杆轴的另一端$O$放在水平面上，使陀螺作无滑动的转动（$O$位置不变）。起始时，杆轴$OC$与竖直线的夹角为$\alpha$，总角速度为$\omega$，方向沿着$\alpha$角的平分线。如下图所示。求
- 从此时到陀螺直立经过的时间（可保留积分）
在什么情形下，陀螺不可能达到直立状态？在什么情形下，可以达到直立状态？
- 在行星绕太阳的椭圆运动中，若令$a-r=ae\cos E$，$\int\frac{2\pi}{\tau}=T$，其中$\tau$为后期，$a$为半长轴，$e$为离心率。在天文学上，称$E$为偏近点角，试证开普勒方程：$T=E-e\sin E$。（当行星处于近日点时，取$T=0$，即$t=0$）
大家肯定都做过这道题，如图（1）4个质量相同的质点用长度相同的轻绳连接，相邻绳的夹角均为$ 60^\circ$，现给1球一个沿绳方向的瞬时冲量，过后，1的速度为$v$，绳不可伸长，使得相连的两个质点沿绳速度相等。求质点4的速度。如果你没做过也不要紧，你可以现在就做一下，答案是$\frac{v}{13}$。不过，做对了并不加分哦！下面把这道题推广到$n$个质量相同的$n$个质点，开始时均静止。且绳处于拉直状态。绳不一定长度相等，保证了绳可以不交叉，相邻绳的夹角为$\theta(0\le\theta\le\frac{\pi}{2})$，且向相同方向偏转（都是顺时针或者逆时针，图中标示为逆时针），如图（2）所示。现在同样给$A_1$以$\vec{A_2A_1}$方向的冲量，过后，$A_1$速度为$v$，求第$n$个质点$A_n$的速度$v_n$。
参考答案
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