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- 如图1，在射雕英雄传中，郭靖攻城受到完颜洪烈的顽强抵抗，采用了如下办法。现假设，空中无风，空气对风筝阻力$f$可表示为$f=kv\sin\alpha$，其中$k$为常量，$v$为风筝速度，$\alpha$为图2中所示角。另外，由于郭靖的强大内功，可以恰好补偿$f$所带来的能量损耗，但内力并无冲量，故$f$的冲量不能因此忽略。现在如图3，已知郭靖从$A$点山顶以水平速度$v_0$飞下，设他可以使得风筝与水平面夹角恒为$\alpha_0$，且郭靖、风筝总质量为$m$，最终到达$B$点，试求满足此条件时，$k$的值。
如图4，在$xoy$坐标系内，$t=0$时，一质量为$m$的小球$A$以$v_0$的$x$正方向速度开始运动。$A$与$O$点间连接着一劲度系数为$k$，原长为$l_0=0$的弹簧，且$mv_0^2> kb^2$，现有一小狗从$O$点出发追$A$球，且追踪路线满足如下规律：（出发时$t=0$）
- 任意时刻，狗、球、$O$三点共线
- 任意时刻，狗、球速度满足：
$v_{狗x}^2+v_{狗y}^2\cdot\frac{mv_0^2}{kb^2}=v_{球x}^2+v_{球y}^2\cdot\frac{mv_0^2}{kb^2}$(角标中$x,y$分别表示速度在$x,y$方向分量)
试求：狗追上球的轨迹方程和时间。
- 如图5，一浮子由两个半径为$R$的球冠相合而成，其质量为$m_1$，中心厚度为$h$（$h<2R_0$），长为$l$，质量为$m_2$的均匀细杆从浮子中心垂直插入，下端刚好到达下球冠表面，讨论整个系统铅锤位置平衡的稳定性。已知，各参量间满足如下关系$\frac{24(m_1+m_2)}{h^2\rho}<\pi(6R-h)$，其中$\rho$为液体密度。
如图6，一束平行的单色光线从无穷远处射向一半径为$R$，质量为$M$的天体，且天体中心到光线距离$a\in[R,R+\Delta R]$，其中$\frac{\Delta R}{R}\ll1$，光线发生了极小的$\Delta\theta$的偏转。
- 若将光子视为经典粒子流，试计算$\Delta \theta$的值
- 现在，在距此天体很远处放一巨大透镜，设汇聚中心为亮点，求题中各参量满足的条件
- 现在，我们用一引力场模拟一个焦距为$f$的会聚透镜，则试求此球对称引力场的质量与半径之间的关系。其中$L=O_1O_2$且$L\gg R,L<\frac{R^2c^2}{2GM}$，另外$f\gg e$。$O_2$为引力场的对称中心。另外，附加引力场对光线的作用我们只用考虑$r\leq$瞄准距离部分的质量对光的吸引即可
- 如图7所示，滑轮光滑且质量不计，一长为$L$质量为$M$的细绳堆放在光滑的水平面上，通过一不计质量的细线绕过定滑轮，用一恒力拉绳，当拉力作用到绳子刚好全部离开地面时撤去，最后细绳恰好停在滑轮上，试求拉力所做的功。
长期以来，台球都是人们热爱的运动，图8为一标准15球花式的开局，击球人想将15号球一杆击入左下角底袋，现在已知有如下规则和条件：
- 各球质量相等，均为$m$，半径均为$R$
- 1～15号球如图放置且与相邻球轻轻接触
- 球与球间碰撞，恢复系数时$e$(0<e<1)
- 各球间摩擦系数为$\mu$，球与桌面摩擦系数为$\mu^\prime=0$
- 不考虑球的转动，只考虑其平动
- 已知击球人已通过母球的打击让1号球获得如图动量，且$\alpha$较大，可以认为$\tan\alpha$足够大
- 忽略同一排台球（如2，3号球，4，5，6号球为同一排，而1，2号球则不同排）之间的作用
- 如图9所示，当三球发生轻碰时，球1有速度$v$而2，3球静止，且设$v$在1，2号球连心线上的投影为$v_{12}$和在1，3号球连心线上的投影为$v_{13}$有$v_{12}>v_{13}$，则可视为球1先与球2碰，再与球3碰
试求$e, \mu$满足的条件。
参考答案
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