1. 若砖石结构的烟囱由于根部断裂而倒地，设倒地过程中根部始终静止，且烟囱线质量密度均匀，试分析在此过程中，何处最容易断裂。设烟囱全长为$l$.
2. 两颗恒星质量分别为$M, m$，距离为$d$，绕着静止的质心作圆周运动。在超新星爆炸中，质量为$M$的恒星损失质量$\Delta M$。设爆炸为瞬时的，球对称的，对残余体无任何作用力，对另一颗恒星无直接作用。试求出$\Delta M$取何值时，余下双星系统仍被约束而不远离。
3. 有几个球从右至左置于光滑地面上排成一条线，球均等大，且从右至左编号为1,2,3,...,n.质量分别对应$m_1, m_2, ...,m_n$。球1的右边有一堵墙，球球及球墙间碰撞的恢复系数均为$e$。开始时，球$n$有一向右速度$v$，其余球静止。设全部碰撞过程中，只有$(n-1)$次球球碰撞，且碰后所有的球以同一速度向右运动。试求$m_2,m_3,...,m_n$.假设$m_1$已知，且碰撞均为一维。

4. 地球赤道平面并不与地球公转轨道平面重合，两者存在夹角$\theta=23^\circ26^\prime$。由于万有引力反比于距离的平方，而地球又不是一正球体，故而导致地球接近太阳的部分受的引力$F_1$大于背离太阳部分所受引力$F_2$，如此便产生了一个力矩使地轴进动，导致春分点，在黄道面上每年西行$ 50.2^{\prime\prime}$，这种现象称为岁差，如图1.我们将地球视为一个旋转椭球，它绕地轴（地球自转轴）的转动惯量$J_P=2\beta M_ER_E^2$，绕在赤道面且过地心的轴的转动惯量为$J_E=\beta M_E(R_E^2+R_P^2)$，其中$R_E,R_P$分别为赤道半径和极半径，$\beta$为一常数。

   1. 考虑一简单情形。设地球质量$M_E$，太阳质量为$M_S$，日地距离$r_0$，且地球在其公转轨道的冬至或夏至日的位置（即地轴与日地连心线所构成平面垂直于黄道平面），试求此时地球受太阳净作用力矩（用字母表示）。
   2. 设一般情况下，地球受太阳作用力矩平均值为上述值的$\frac{1}{2}$。并引入月球的影响：月球对地球作用的原理一样，且忽略月球公转平面与黄道面的夹角，试分析春分点的进点叫速度$\bar{\omega}$，已知：$M_S=1.99\times10^{30}\mathrm{kg}$,$M_E=5.98\times10^{24}\mathrm{kg}$,$M_m=7.35\times10^{22}\mathrm{kg}$,$ 2\beta=0.33,r_0=1.496\times10^8\mathrm{km}$,$r_1=3.844\times10^5\mathrm{km}$,$R_E=6378.14\mathrm{km}$,$R_P=6356.76\mathrm{km}$,$G=6.673\times10^{-11}\mathrm{Nm^2kg^{-2}}$其中$M_m$为月球质量，$r_1$为地月平均距离。
5. 从地球的北极打出一枚炮弹，初速度为$v_0$，恰好打在赤道上，忽略大气阻力和地球运动（包括自转）的影响。试求$v_0$最小值和此时发射角（数据参看题4，且视地球为正球体，$R_E=6.37\times10^3\mathrm{km}$，反射角为速度$\vec{v_0}$与地面夹角。
6. 有$n$根一样长的直杆，长均为$l$，质量均为$m$，且质地均匀，相互之间以光滑铰链连成一长串放在光滑水平桌面上，相邻两杆偏转角为$\phi$，且所有所有杆相对前一杆均逆时针方向偏转。给第一根杆自由端$A_0$一个冲量，使其获得速度$v_0$，$\vec{v_0}$与第一根杆夹角为$\theta$，设极短时间后，第$R$根杆角速度为$\omega_R$，证明$\omega_R$满足如下形式方程：$\sum_{i=1}^nf(i,k)\omega_i\cos(k-i)\phi=(2n-2R+1)\omega_0\sin(k\phi-\phi-\theta)$,$(k=1,2,3,...,n)$其中$\omega_0=\frac{v_0}{l}$，且$f(i,k)$是关于$i,k,n$（$n$视为常数）的函数，并求出$f(i,k)$。

参考答案