动量和能量测试题（二）

1. 如图，两个相互平行的墙，各墙连接等高且表面光滑的高台。两个高台上分别有一个台体，两台体完全相同。每个台体向中间的一面倾角为$45^\circ$，台体高为$L$。另有一个三棱柱，截面为底长$2L$的等腰三角形，两斜面与两台体斜面的静摩擦和滑动摩擦系数同为$\mu$，三棱柱质量为$m$，台体质量很大。两台体向墙的面上由劲度系数为$k$的轻弹簧连至墙上。弹簧处于原长时，两台体斜面的顶端正好接触。初时，三棱柱两斜面正好贴在两台体斜面上，弹簧处于原长。其他几何数据见图。问：在三棱柱下方施加向上托力$F$，要使三棱柱由此移动到两台体之上，$F$至少要做多少功。
2. 如图，一个线密度为$\lambda$的匀质刚性杆，长为$L$，中点处横向断开，断处截面由厚度不计的胶粘上。现将此杆一端固定，使之可在竖直面$\alpha$内无摩擦转动。初时，杆处于竖直平衡态，一可视为质点的小球以垂直于杆的速度$v_0$在$\alpha$面内与杆中点相碰，碰撞是弹性的。不考虑杆的折断，且胶不会在碰撞瞬间因垂直杆方向的力断开，但胶在沿杆方向可受最大张力为$F$，且杆只能在胶处断。
   问：杆运动到何处后会断开。
3. 如图，一个足够长的车在路上受摩擦力满足$f=\mu N$，$N$为车受路面支持力，$\mu$为常数。$t=0$时，传送带开始以$v_1$的速度将沙向左方送下，单位时间传送沙质量$m_0$，传送带上沙距车底$h$。且$t=0$时小车前端刚好处于$A$下方，运动速度$v_2$与$v_1$同一方向，车质量为$M$。$t_0=10s$时，传送带停住，且其上的那些因为惯性而继续运动进入小车的沙少的可以忽略。另外假设沙落到车底后会在很短时间与车达到相同速度，且沙在车底累计高度很小。
   求：在$t=12s$时小车的速度及整个过程($0\leq t\leq12s$)中产生的热量。
4. 考虑两个质量为$m$，半径为$R$的均匀圆盘在光滑水平的$x-y$平面内。圆盘$B$静止，圆心在坐标原点。圆盘$A$圆心在$x$轴上方，距$x$轴距离为$b$，并以向右的平动速度$v$向$B$运动，同时$A$以角速度$\omega$顺时针转动。假设碰撞后，沿垂直于连心线方向两盘接触点处的速度相同，在沿连心线方向两盘渐进速度等于分离速度。
   问：当$b$为多大时，$B$盘可以相对$x$轴最大偏角射出，此时总机械能改变量为多少？

5. 有一足够长的水平光滑刚性杆两端固定，有一个质量$m$的小环套在环上，另有质量也为$m$的小球。小球和小环由不可伸长的轻绳连接。初时小球贴在杆的下端放置，轻绳刚好水平拉直，之后放下小球。绳长$L$。求：

   1. 小球的运动轨迹
   2. 小球整个运动中速度的最大值
   3. 小球速率最大时，绳的张力

参考答案

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